Prérequis :

• 1^er principe pour les systèmes ouverts.
• Expression du débit massique.

Savoir-faire :

• Transformation très rapide ⇒ adiabatique.
• Identifier les échanges énergétiques à chaque étape.
• Evolution isentropique d'un gaz parfait de coefficient \(\gamma\) constant : penser aux lois de Laplace.

1. Vitesse de sortie
Solution

Il s'agit d'un fluide en écoulement, le cadre théorique adapté est le premier principe pour les systèmes ouverts (premier principe "industriel") : \(\Delta (h + e_c + e_p) = w_u+q\) où toutes les grandeurs sont massiques.
Pour le trajet du fluide dans la tuyère, le travail utile est nul (aucune partie mécanique mobile) et le trajet est tellement bref que les échanges de chaleur n'ont pas le temps de se produire, la transformation est donc également adiabatique.
L'énergie potentielle est négligée devant l'énergie cinétique.
Finalement, \(\Delta (h + e_c) = 0\), ce qui exprime que la tuyère transforme de l'énergie d'agitation thermique (enthalpie) en énergie cinétique.
On relie ainsi la vitesse en sortie (la vitesse en entrée est négligeable) à la variation de température.
La température en sortie \(T_s\) étant inconnue, on la relie à la température en entrée et aux pressions grâce à la loi de Laplace (ici en variables T et P) car il s'agit d'un gaz supposé parfait subissant une transformation isentropique avec γ constant.
On obtient \(T_s=T_ex^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\) et \(v_s=\sqrt{2c_P(T_e-T_s)}\).
A.N. : \(v_s=250\,\,m\,s^{-1} = 900\,\,km\,h^{-1} \) (ordre de grandeur de la vitesse d'un avion de ligne).




2. Pression de sortie
Solution

Le débit massique en sortie est \(D_m=\rho_s v_s S_s\).
L'équation d'état des gaz parfaits donne l'expression de la masse volumique : \(\rho=\displaystyle\frac{PM}{RT}\).
Avec les résultats de la question 1, \(\rho_s=\rho_e\,x^{1/\gamma}\).
On obtient donc une expression de \(D_m(x)\) dont on cherche le maximum.
On obtient \(x_m=\left(\displaystyle\frac{\gamma+1}{2}\right)^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}\) puis \(P_s=0,53 P_e\).